Μετασχηματισμός Fourier - φασματική ανάλυση

Τα μαθηματικά πίσω από τα σήματα και η φασματική ανάλυση. Έχετε αναρωτηθεί ποτέ πώς οι μηχανές εκτελούν το έργο της αφαίρεσης του θορύβου και της ρύθμισης του ήχου; Ή πώς συμπιέζει το τηλέφωνό σας μια εικόνα υψηλής ευκρίνειας; Χρησιμοποιώντας ένα μαθηματικό εργαλείο, αυτά τα καθήκοντα μπορούν να εκτελεστούν σπάζοντας τα σήματα σε καθαρά ημιτονοτόνα και συνημιτόνο. Αυτή είναι η δύναμη του Fourier Transform, μια έννοια που έχει φέρει επανάσταση στη χρήση υπολογιστών σε περιοχές όπως η συμπίεση εικόνας, η μηχανική σόναρ, η ιατρική απεικόνιση κτλ.

Φόντο: Η θεμελιακή ιδέα πίσω από τον Μετασχηματισμό Fourier εισήχθη από τον Joseph Fourier, Γάλλο μαθηματικό και φυσικό, το 1822 ενώ έλυνε την εξίσωση θερμότητας. Απέδειξε ότι οποιαδήποτε λειτουργία μπορεί να εκφραστεί ως άθροισμα κυμάτων ημιτονοτονο και συνημίτονου. Αν και αμφιλεγόμενη στην αρχή, η ιδέα του απέκτησε έλξη όταν μαθηματικοί όπως ο Dirichlet, ο Cauchy και ο Riemann επέκτειναν και επισημοποίησαν το έργο. Η πρώτη μεγάλη εφαρμογή του εμφανίστηκε στην τηλεγραφία στα τέλη του 19ου αιώνα.

Σύντομη εξήγηση: Ο μετασχηματισμός Fourier διασπά ένα σύνθετο σήμα σε ημιτονοειδή συστατικά, αναπαριστώντας τα ως συνάρτηση της συχνότητας.

Η εξίσωση για τον μετασχηματισμό μοιάζει κάπως έτσι:

F[ω]=[ ∫ ƒ(t) e −jwt dt ], όπου το ανώτερο όριο είναι ∞ και το κατώτερο όριο είναι - ∞.

Σε αυτή την έκφραση, ƒ(t) είναι η δεδομένη συνάρτηση ενός σύνθετου κύματος που παίρνει 'χρόνο' ως πεδίο και εύρος ή ένταση. Για να γίνει ο μετασχηματισμός, πρέπει να υποτεθούν ημιτονοειδή κύματα διαφορετικών συχνοτήτων. Στη συνέχεια, ένα μοντέλο ικανό να συγκρίνει αυτές τις συχνότητες με τις συχνότητες που υπάρχουν στο δεδομένο σήμα θα ήταν απαραίτητο, το οποίο θα παρέχει το ποσό της συνεισφοράς αυτού του ημιτονοειδούς με μια συγκεκριμένη συχνότητα στο δεδομένο σήμα.

Ένα ημιτονοειδές αναφέρεται σε κύματα με ομαλές περιοδικές ταλαντώσεις, όπως το ημιτονοτόνο και τα συνημίτονα κύματα. Η σειρά Fourier είναι ένα διάσημο εργαλείο για τη μετατροπή σημάτων σε πιο απλά ημιτονοειδή. Αλλά καταρρέει όταν αντιμετωπίζει μη περιοδικά κύματα. Σε αυτή την περίπτωση, ο Μετασχηματισμός Fourier ακολουθεί μια διαφορετική προσέγγιση. Περικλείει την παραγωγή των ημιτονοειδών με μεταβλητές συχνότητες στη βασική συνάρτηση, e −jwt, και συσχετίζει το πεδίο χρόνου με τη συχνότητα. Αυτό το πολύπλοκο εκθετικό (Euler's Identity) αποτελείται από συνημίτονο (πραγματικά) και ημιτοτονο (φανταστικά) συστατικά. Σε κάθε δεδομένη στιγμή t, υποδεικνύει ένα σημείο σε έναν μοναδιαίο κύκλο με γωνία -ωt στο σύνθετο επίπεδο. Η περιστροφή του με το χρόνο ευθυγραμμίζεται ƒ(t) με τα ημιτονοειδή συστατικά στη συχνότητα ω, επιτρέποντάς μας να απομονώσουμε πόσο από το ƒ(t) αντιστοιχεί στη συχνότητα.

Για να βρεθεί η προβολή του ƒ(t) στη βάση συνάρτησης, οι δύο συναρτήσεις πολλαπλασιάζονται (παρόμοια με την εύρεση προβολής ενός διανύσματος σε άλλο) και ενσωματώνονται στο πεδίο του χρόνου. Όσο πιο κοντά είναι η δοκιμασμένη συχνότητα σε αυτές που υπάρχουν στο δεδομένο σήμα, τόσο μεγαλύτερη θα ήταν η τιμή του ολοκληρώματος. Πάνω από άπειρα όρια, το ολοκλήρωμα των αταίριαστων συχνοτήτων θα ήταν μηδέν λόγω καταστροφικών παρεμβολών και ορθογωνικότητας. Ωστόσο, οι αντιστοιχισμένες συχνότητες θα έχουν πάντα θετική τιμή μετά την ενσωμάτωση. Τέλος, σχεδιάζεται ένα γράφημα πλάτους έναντι συχνότητας όπου, για κάθε δοκιμασμένη συχνότητα, σχεδιάζεται το μέγεθος του ολοκληρώματος. Το γράφημα υποδηλώνει μια συνάρτηση που τελικά χρησιμοποιείται για να καθορίσει τη συμβολή διαφόρων συχνοτήτων στο σήμα εισόδου.

Αιτήσεις: Αυτό το ποσοτικό μοντέλο έχει αρκετές παραλλαγές, των οποίων οι εφαρμογές εκτείνονται σε πολλά πεδία. Ο Αντίστροφος Μετασχηματισμός Fourier συμβάλλει στην ανακατασκευή σημάτων στις μαγνητικές τομογραφίες και τη ραδιοαστρονομία. Ο Discrete Fourier Transform (DFT) είναι ζωτικής σημασίας για την επεξεργασία ψηφιακού σήματος, όπως η αναγνώριση ομιλίας και η σεισμική ανάλυση. Ο Fast-Fourier Transform (FFT) επιταχύνει τους υπολογισμούς, επιτρέποντας την επεξεργασία ήχου σε πραγματικό χρόνο και τη συμπίεση εικόνας όπως JPEG.

Αυτή η αναλυτική μέθοδος δίνει επίσης δύναμη στην αποσύνθεση των δεδομένων μαγνητικής και αξονικής τομογραφίας. Βοηθά στην ανάλυση φάσματος φωτός από μακρινά αστέρια. Μπορεί να ορίσει τη δομική ακεραιότητα και να αξιολογήσει τις κυματολειτουργίες στην κβαντική μηχανική. Διάφορα θεωρήματα της πολύπλοκης ανάλυσης βασίζονται στις βασικές αρχές του Μετασχηματισμού Fourier. Και κάπως έτσι, έχει αμέτρητες δυνατότητες που περιμένουν να εξερευνηθούν.

Πριν από 60 χρόνια αυτόν τον μήνα, ο Γρήγορος Μετασχηματισμός Fourier (FFT) εισήχθη από τους Cooley & Tukey (1965) - ένας από τους σημαντικότερους αλγόριθμους στην επεξεργασία σήματος και την ανάλυση δεδομένων.

Το 1805, ο Gauss - μελετώντας τις τροχιές των αστεροειδών Pallas και Juno - βρήκε μια μέθοδο για να παρεμβάλει τις τροχιές τους από διακριτά δείγματα. Αυτό που επινόησε ήταν μαθηματικά πολύ κοντά στο σύγχρονο FFT αλλά ο Gauss δεν δημοσίευσε ποτέ αυτό το έργο και δεν ανέλυσε την υπολογιστική του πολυπλοκότητα. Προηγείται ακόμα και το έργο του Fourier το 1822 για τη διάχυση θερμότητας - χωρίς όμως το πλαίσιο ή τη γενίκευση που θα έφερναν 160 χρόνια αργότερα οι Cooley & Tukey.

Το 1965, οι Cooley & Tukey δημοσίευσαν τον γνωστό πλέον αλγόριθμο τους που μείωσε το κόστος υπολογισμού ενός Discrete Fourier Transform από O(n2) σε O(n log n). Αυτό το άλμα έκανε εφικτή την επεξεργασία σήματος σε πραγματικό χρόνο και τη συμπίεση ψηφιακών μέσων.

Από ραδιοτηλεσκόπια μέχρι JPEGs, από κωδικοποιητές ήχου μέχρι κβαντομηχανική - το FFT είναι παντού. Είναι ένας από τους σημαντικότερους (και κομψούς) αλγόριθμους του 20ου αιώνα - ριζωμένος στην ιδιοφυΐα του Gauss, αλλά ζωντάνεψε στην εποχή του υπολογιστή.