Τρίτη, 8 Ιουνίου 2010

Aπολλώνιοι Κύκλοι


Απολλώνιο πρόβλημα
Στην Ευκλείδεια γεωμετρία του επιπέδου το Απολλώνιο πρόβλημα συνίσταται στην κατασκευή κύκλων που να είναι εφαπτόμενοι σε τρεις δεδομένους κύκλους στο επίπεδο. Το πρόβλημα έθεσε και έλυσε ο Απολλώνιος ο Περγαίος (περ. 262 π.Χ. - περ. 190 π.χ.) στο έργο του Ἐπαφαί. Το πρωτότυπο έργο έχει χαθεί και σώζονται μόνο αναφορές στα αποτελέσματά του από τον Πάππο. Για τρεις δεδομένους κύκλους εν γένει υπάρχουν οκτώ διαφορετικοί κύκλοι που εφάπτονται σε αυτούς και κάθε κύκλος περικλείει η όχι τους τρεις κατά διαφορετικό τρόπο.Το 16ο αιώνα, ο Άντριαν φαν Ρόομεν έλυσε το πρόβλημα χρησιμοποιώντας τεμνόμενες υπερβολές χωρίς όμως να χρησιμοποιεί μόνο κατασκευές με κανόνα και διαβήτη. Ο Φρανσουά Βιέτ κατέληξε σε μία τέτοια λύση εργαζόμενος με απλούστερες περιπτώσεις, θεωρώντας μηδενική την ακτίνα ενός από τους τρεις δεδομένους κύκλους (εκφυλίζοντας τον σε σημείο) είτε θεωρώντας την άπειρη (οπότε ο κύκλος εκφυλίζεται σε ευθεία). Η προσέγγιση του Βιέτ, η οποία χρησιμοποιεί απλουστευμένες περιπτώσεις για να λύσει πολυπλοκότερες θεωρείται μία από τις πιθανές ανακατασκευές της λύσης του Απολλώνιου. Η μέθοδος του φαν Ρόομεν απλουστεύθηκε από τον Ισαάκ Νιούτον, ο οποίος απέδειξε ότι το πρόβλημα του Απολλώνιου είναι ισοδύναμο με την εύρεση ενός σημείου με γνωστές της διαφορές των αποστάσεών του από τρία γνωστά σημεία. Αυτό έχει εφαρμογή στην πλοήγηση και σε συστήματα προσδιορισμού θέσεως όπως το LORAN
Αργότερα οι μαθηματικοί εισήγαγαν αλγεβρικές μεθόδους, οι οποίες μετασχηματίζουν ένα γεωμετρικό πρόβλημα σε αλγεβρικές εξισώσεις. Αυτές οι μέθοδοι απλοποιήθηκαν εκμεταλλευόμενες την εγγενή συμμετρία του απολλώνιου προβλήματος. Επί παραδείγματι, οι κύκλοι-λύσεις εν γένει αποτελούν ζεύγη, όπου ο ένας περικλείει τους κύκλους που ο άλλος αποκλείει. Ο Ζοζέφ Ντιάζ Ζεργκόν (Joseph Diaz Gergonne) χρησιμοποίησε αυτή την συμμετρία για μία κομψή απόδειξη με κανόνα και διαβήτη, ενώ άλλοι μαθηματικοί χρησιμοποίησαν γεωμετρικούς μετασχηματισμούς όπως η απεικόνιση σε κύκλο για την απλοποίηση της διάταξης των δεδομένων κύκλων. Αυτέ οι εξελίξεις παρέχουν το γεωμετρικό υπόβαθρο για αλγεβρικές μεθόδους (με χρήση της σφαιρικής γεωμετρίας του Lie) και ταξινόμηση των λύσεων με βάση τις 33 διαφορετικές διατάξεις των δεδομένων κύκλων.
Το Απολλώνιο πρόβλημα έχει πολλές προεκτάσεις. Μελετήθηκαν γενικεύσεις του σε τρεις (κατασκευή σφαίρας εφαπτόμενης σε τέσσερις δεδομένες) και παραπάνω διαστάσεις. Η αρχική διάταξη τριών εφαπτόμενων μεταξύ τους κύκλων έχει ιδιαίτερο ενδιαφέρον. Ο Ρενέ Ντεκάρτ πρότεινε μια εξίσωση που συνδέει την ακτίνα του ζητούμενου κύκλου με τις ακτίνες των τριών δεδομένων κύκλων, γνωστή και ως θεώρημα του Καρτέσιου. Η επαναληπτική λύση του απολλώνιου προβλήματος σε αυτή την περίπτωση, οδηγεί στην απολλώνιο έμβυσμα (apollonian gasket), το οποίο είναι ένα από τα πρώτα φράκταλ που περιγράφηκαν εντύπως, ενώ είναι σημαντικό στην θεωρία αριθμών μέσω των κύκλων του Φορντ και την μέθοδο κύκλου Χάρντι-Λίτλγουντ (Hardy–Littlewood circle method).
Πίνακας περιεχομένων
• 1 Το πρόβλημα
• 2 Ιστορία
• 3 Μέθοδοι επίλυσης
o 3.1 Διατεμνόμενες υπερβολές
o 3.2 Η ανακατασκευή του Βιέτ
o 3.3 Αλγεβρικές λύσεις
o 3.4 Σφαιρική Γεωμετρία Lie
o 3.5 Μέθοδοι αντιστροφής
o 3.6 Ζεύγη λύσεων με αντιστροφή
 3.6.1 Αντιστροφή σε δακτύλιο
 3.6.2 Αλλαγή μεγέθους και αντιστροφή
 3.6.2.1 Ελάττωση ενός δοσμένου κύκλου σε σημείο
 3.6.2.2 Αλλαγή μεγέθους ώστε δύο δοσμένοι κύκλοι να αλλοεφάπτονται
o 3.7 Η επίλυση του Ζεργκόν
• 4 Ειδικές περιπτώσεις
o 4.1 Δέκα συνδυασμοί σημείων, κύκλων και ευθειών
o 4.2 Αριθμός λύσεων
o 4.3 Αμοιβαίως εφαπτόμενοι κύκλοι: Κύκλοι Soddy και το Θεώρημα του Καρτέσιου

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου