Δευτέρα, 4 Ιουνίου 2012

Το σχήμα L - Gödel

H ανακάλυψη αυτή έφθασε σε μια στιγμή κατά την οποία η έννοια του «αναπόδεικτου» είχε μόλις αρχίσει να γίνεται της μόδας. Το 1931 ο αυστριακός επιστήμονας της Λογικής Κουρτ Γκέντελ διατύπωσε το περίφημο «θεώρημα της μη πληρότητας». Αυτό δείχνει ότι ακόμη και με τους πιο «σφιχτούς» βασικούς κανόνες θα υπάρχουν πάντα διατυπώσεις συνόλων αριθμών που τα μαθηματικά δεν θα μπορούν ούτε να επαληθεύσουν ούτε να καταρρίψουν. Ταυτοχρόνως όμως ο Γκέντελ είχε ένα φαινομενικά τρελό προαίσθημα σχετικά με το πώς μπορούν να γεμίσουν τα περισσότερα από αυτά τα κενά: χτίζοντας απλώς πολλά επίπεδα απείρου. Αυτό αντιβαίνει σε οποιονδήποτε λογικό οικοδομικό κανονισμό, αλλά η υπόθεση του Γκέντελ αποδείχθηκε εμπνευσμένη. Το απέδειξε το 1938. Ξεκινώντας από μια απλή σύλληψη συνόλων συμβατών με τους κανόνες του Τσερμέλο και του Φρένκελ και στη συνέχεια σχεδιάζοντας προσεκτικά την υπερδομή του απείρου του, δημιούργησε ένα μαθηματικό περιβάλλον στο οποίο τόσο το αξίωμα της επιλογής όσο και η υπόθεση του συνεχούς ισχύουν ταυτόχρονα. Ονόμασε τον νέο κόσμο του «κατασκευάσιμο σύμπαν» ή απλώς «L». Το L είναι ένα γοητευτικό περιβάλλον για τα μαθηματικά, σύντομα όμως εμφανίστηκαν λόγοι για τους οποίους θα μπορούσε να αμφιβάλλει κανείς ως προς το αν ήταν το «σωστό» περιβάλλον. Κατ’ αρχάς η σκάλα του απείρου του δεν ανέβαινε αρκετά ψηλά ώστε να γεμίσει όλα τα κενά που είναι γνωστό ότι υπάρχουν στην υποκείμενη δομή. Το 1963 ο Πολ Κοέν του Πανεπιστημίου Στάνφορντ στην Καλιφόρνια έδωσε μια προοπτική αναπτύσσοντας μια μέθοδο για την παραγωγή μιας πληθώρας κατά παραγγελία μαθηματικών συμπάντων που όλα τους ήταν συμβατά με τους κανόνες του Τσερμέλο και του Φρένκελ.
Μαθηματική αρχιτεκτονική
Αυτή ήταν η αρχή ενός οργασμού κατασκευαστικής δραστηριότητας. «Τον τελευταίο μισό αιώνα οι θεωρητικοί των συνόλων έχουν ανακαλύψει μια τεράστια ποικιλία μοντέλων της θεωρίας των συνόλων» λέει ο Τζόελ Χάμκινς του Πανεπιστημίου City της Νέας Υόρκης. Ορισμένα είναι «κόσμοι τύπου L» με υπερδομές σαν το L του Γκέντελ, διαφέροντας μόνο στο εύρος των έξτρα επιπέδων απείρου που περιλαμβάνουν. Αλλα έχουν εξαιρετικά ετερόκλητα αρχιτεκτονικά στυλ με εντελώς διαφορετικά επίπεδα και σκάλες απείρου που οδηγούν προς κάθε είδους κατεύθυνση. Για τις περισσότερες λειτουργίες η ζωή μέσα σε αυτές τις δομές είναι η ίδια: στο μεγαλύτερο μέρος τους τα καθημερινά μαθηματικά δεν διαφέρουν μέσα στην καθεμιά τους ούτε και οι νόμοι της φυσικής. Η ύπαρξη όμως αυτού του μαθηματικού «πολυσύμπαντος» φαινόταν να διαλύει κάθε ιδέα επίλυσης της υπόθεσης του συνεχούς. Οπως κατόρθωσε να δείξει ο Κοέν, σε ορισμένους λογικά δυνατούς κόσμους η υπόθεση ισχύει και δεν υπάρχει ενδιάμεσο επίπεδο απείρου μεταξύ του μετρήσιμου και του συνεχούς. Σε άλλους το ενδιάμεσο επίπεδο υπάρχει. Σε κάποιους άλλους υπάρχουν άπειρα. Με τη μαθηματική λογική όπως τη γνωρίζουμε απλώς δεν υπάρχει τρόπος να βρούμε σε ποιο είδος κόσμου βρισκόμαστε.
Η λύση στο... ρετιρέ
Ο Χιου Γούντιν του Πανεπιστημίου της Καλιφόρνιας στο Μπέρκλεϊ έχει μια πρόταση σε αυτό. Η απάντηση, λέει, μπορεί να βρεθεί βγαίνοντας έξω από τον συμβατικό μαθηματικό κόσμο και περνώντας σε ένα ανώτερο επίπεδο. Ο Γούντιν είναι ένας εξαιρετικά σεβαστός θεωρητικός των συνόλων και έχει ήδη αποσπάσει την ύψιστη τιμή στο αντικείμενό του: ένα επίπεδο στην κλίμακα του απείρου με το όνομά του. Το επίπεδο αυτό, το οποίο βρίσκεται πολύ ψηλότερα από οτιδήποτε υπήρχε στο L του Γκέντελ, κατοικείται από γιγαντιαίες οντότητες οι οποίες είναι γνωστές ως απόλυτοι του Γούντιν. Οι απόλυτοι του Γούντιν απεικονίζουν πώς η πρόσθεση ρετιρέ στο οικοδόμημα των μαθηματικών μπορεί να λύσει προβλήματα σε λιγότερο «αραιά» κατώτερα επίπεδα. Το 1988 οι αμερικανοί μαθηματικοί Ντόναλντ Μάρτιν και Τζον Στιλ έδειξαν ότι, αν οι απόλυτοι του Γούντιν υπάρχουν, τότε όλα τα προβαλλόμενα σύνολα των πραγματικών αριθμών έχουν ένα μετρήσιμο μέγεθος. Σχεδόν όλα τα συνηθισμένα γεωμετρικά αντικείμενα μπορούν να περιγραφούν υπό τους όρους αυτού του συγκεκριμένου είδους συνόλου, οπότε αυτή ήταν ακριβώς η δικλίδα που χρειαζόταν για την προστασία των συμβατικών μαθηματικών απέναντι σε δυσάρεστες εκπλήξεις όπως η μπάλα του Μπάναχ και του Τάρσκι. Ωστόσο, παρά τις επιτυχίες αυτές, ο Γούντιν παρέμενε ανικανοποίητος. «Τι νόημα έχει μια αντίληψη του σύμπαντος των συνόλων στην οποία υπάρχουν πολύ μεγάλα σύνολα αν δεν μπορούμε να εξαγάγουμε βασικές ιδιότητες των μικρών συνόλων;» αναρωτιέται. Ακόμη και 90 χρόνια αφότου ο Τσερμέλο και ο Φρένκελ υποτίθεται ότι διόρθωσαν τα θεμέλια των μαθηματικών, οι ρωγμές ήταν πολλές. «Η θεωρία των συνόλων είναι γεμάτη άλυτα ζητήματα. Σχεδόν όποιο ερώτημα και να θέσεις είναι άλυτο» λέει. Ακριβώς στην καρδιά αυτού του προβλήματος βρίσκεται η υπόθεση του συνεχούς.
Το υπερσύμπαν του «έσχατου L»
Ο Γούντιν και οι συνεργάτες του εντόπισαν τον «σπόρο» σε μια νέα, πιο ριζοσπαστική προσέγγιση ενώ διερευνούσαν συγκεκριμένα πρότυπα πραγματικών αριθμών τα οποία εμφανίζονται σε διάφορους κόσμους τύπου L. Τα πρότυπα, γνωστά ως καθολικά σύνολα Baire, άλλαζαν ελαφρώς τη γεωμετρία του κάθε κόσμου και φαινόταν ότι λειτουργούν σαν ένα είδος κώδικα ταυτότητάς του. Οσο περισσότερο τα κοίταζε ο Γούντιν τόσο περισσότερο έβλεπε ότι υπήρχαν σχέσεις ανάμεσα στα πρότυπα φαινομενικά διαφορετικών κόσμων. Συνδυάζοντας τα πρότυπα αυτά μεταξύ τους, τα όρια ανάμεσα στους κόσμους σιγά σιγά εξαφανίζονταν και άρχιζε να διαφαίνεται ο χάρτης ενός ενιαίου μαθηματικού υπερσύμπαντος. Προς τιμήν της αρχικής έμπνευσης του Γκέντελ ο Γούντιν ονόμασε αυτή τη γιγαντιαία λογική δομή «έσχατο L». Μεταξύ άλλων το έσχατο L προσφέρει για πρώτη φορά έναν οριστικό απολογισμό του φάσματος των υποσυνόλων των πραγματικών αριθμών: σε κάθε «σταυροδρόμι» ανάμεσα σε διαφορετικούς κόσμους που ανοίγουν οι μέθοδοι του Κοέν μόνο μια πιθανή οδός είναι συμβατή με τον χάρτη του Γούντιν. Ιδιαίτερα υποδηλώνει ότι η υπόθεση του Κάντορ ισχύει αποκλείοντας οτιδήποτε ανάμεσα στο μετρήσιμο άπειρο και στο συνεχές. Αυτό σημαίνει όχι μόνο το τέλος μιας σπαζοκεφαλιάς 140 ετών αλλά και μια προσωπική μεταστροφή για τον Γούντιν: πριν από δέκα χρόνια υποστήριζε ότι η υπόθεση του συνεχούς πρέπει να θεωρηθεί λανθασμένη. Το έσχατο L δεν σταματάει εδώ. Ο μεγάλος, ευρύχωρος χώρος του επιτρέπει την πρόσθεση επιπλέον βαθμίδων στην κορυφή της κλίμακας του απείρου με τρόπο ώστε να γεμίσουν τα κενά που υπάρχουν πιο κάτω, επαληθεύοντας το προαίσθημα του Γκέντελ για την επίλυση του προβλήματος του αναπόδεικτου που ταλάνιζε τα μαθηματικά. Το θεώρημα της μη πληρότητας του Γκέντελ δεν καταργείται, αλλά μπορεί να το «σπρώξει» κανείς όσο ψηλά θέλει στη σκάλα, οδηγώντας το στη σοφίτα του απείρου των μαθηματικών. Η προοπτική της απαλλαγής από τη λογική μη πληρότητα που βάραινε ακόμη και βασικούς τομείς όπως η θεωρία των αριθμών έχει ενθουσιάσει πολλούς μαθηματικούς. Απομένει μόνο ένα ζήτημα: Ισχύει το έσχατο L; Το 2010 ο Γούντιν παρουσίασε τις ιδέες του στο ίδιο φόρουμ στο οποίο είχε μιλήσει ο Χίλμπερτ περισσότερο από έναν αιώνα πριν, στο Διεθνές Συνέδριο των Μαθηματικών, τη φορά αυτή στο Ιντεραμπάντ της Ινδίας. Ο Χίλμπερτ είχε υπερασπιστεί κάποτε τη θεωρία των συνόλων με την περίφημη φράση «κανένας δεν θα μας αποπέμψει από τον παράδεισο που δημιούργησε ο Κάντορ». Σε αυτόν τον παράδεισο όμως προχωρούσαμε στα τυφλά χωρίς να ξέρουμε ακριβώς πού βρισκόμαστε. Ισως τώρα να έχουμε επιτέλους έναν οδηγό, ο οποίος ενδεχομένως μπορεί να μας οδηγήσει σε αυτόν τον αιώνα και ακόμη πιο πέρα. The greatest logician after Aristotle

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου