Μια γιγάντια μαθηματική δομή ανοίγει νέους ορίζοντες για το σύμπαν των μαθηματικών, Ultimate logic: To infinity and beyond
Όταν ο Ντέιβιντ Χίλμπερτ κατέβηκε από το βάθρο ύστερα από τη διάλεξή του στο Πανεπιστήμιο της Σορβόννης στις 8 Αυγούστου 1900, ελάχιστοι από τους συνέδρους έδειξαν εντυπωσιασμένοι. Σύμφωνα με μια αναφορά της εποχής, η συζήτηση που ακολούθησε σε εκείνο το δεύτερο Διεθνές Συνέδριο των Μαθηματικών ήταν «μάλλον παρεκβατική». Τα πνεύματα φάνηκε να εξάπτονται περισσότερο από ένα επόμενο θέμα σχετικά με το αν η εσπεράντο έπρεπε να υιοθετηθεί ως γλώσσα εργασίας των μαθηματικών. Παρ’ όλα αυτά, εκείνη η ομιλία του Χίλμπερτ χάραξε την ατζέντα των μαθηματικών για τον 20ό αιώνα. Αποκρυσταλλώνεται σε έναν κατάλογο 23 κρίσιμων αναπάντητων ερωτημάτων, όπως το πώς πρέπει να τοποθετούνται οι σφαίρες ώστε να επιτευχθεί η καλύτερη εκμετάλλευση του διαθέσιμου χώρου ή το αν η υπόθεση του Ρίμαν σχετικά με την κατανομή των πρώτων αριθμών ισχύει. Σήμερα πολλά από αυτά τα προβλήματα έχουν λυθεί, όπως αυτό της τοποθέτησης των σφαιρών. Άλλα, όπως αυτό της υπόθεσης του Ρίμαν, έχουν δει ελάχιστη ή και καμία πρόοδο. Το πρώτο θέμα στον κατάλογο του Χίλμπερτ ξεχωρίζει ωστόσο για την αλλόκοτη απάντηση που έδωσαν έκτοτε σε αυτό γενεές ολόκληρες μαθηματικών: ότι τα μαθηματικά απλώς δεν έχουν τα μέσα για να το απαντήσουν.
Η «υπόθεση του συνεχούς» Ο επίμονα άλυτος γρίφος είναι γνωστός ως «υπόθεση του συνεχούς» και αφορά αυτή την τόσο αινιγματική οντότητα, το άπειρο. Σήμερα, 140 χρόνια μετά τη διατύπωσή του, ένας σεβαστός αμερικανός μαθηματικός πιστεύει ότι τον έλυσε. Επιπλέον υποστηρίζει ότι έφθασε στη λύση χρησιμοποιώντας όχι τα μαθηματικά όπως τα γνωρίζουμε αλλά μια νέα, πολύ πιο ισχυρή λογική κατασκευή την οποία ονομάζει «έσχατο L» (ultimate L). Η διαδρομή ως αυτό το σημείο ξεκίνησε στις αρχές της δεκαετίας του 1870, όταν ο Γερμανός Γκέοργκ Κάντορ έθετε τα θεμέλια της θεωρίας των συνόλων. Η θεωρία των συνόλων ασχολείται με τη μέτρηση και τον χειρισμό συγκεντρωμένων αντικειμένων και προσφέρει το κρίσιμο λογικό υπόβαθρο των μαθηματικών: επειδή οι αριθμοί μπορούν να συνδεθούν με το μέγεθος των συνόλων, οι κανόνες για τον χειρισμό των συνόλων καθορίζουν επίσης τη λογική της αριθμητικής και ο,τιδήποτε άλλου στηρίζεται σε αυτήν. Αυτές οι στεγνές, ελαφρώς άνοστες λογικές διατυπώσεις απέκτησαν μια σπιρτάδα όταν ο Κάντορ έθεσε ένα κρίσιμο ερώτημα: Πόσο μεγάλα μπορούν να γίνουν τα σύνολα; Η προφανής απάντηση _ άπειρα μεγάλα _ αποδείχθηκε ότι έκρυβε ένα απρόοπτο: το άπειρο δεν είναι τελικά μια οντότητα αλλά έχει πολλά επίπεδα.
Τα επίπεδα του Απείρου Πώς γίνεται αυτό; Μπορείτε να πάρετε μια γεύση μετρώντας στη σειρά όλους τους αριθμούς: 1, 2, 3, 4, 5... Ως πού μπορείτε να φθάσετε; Ε, φυσικά ως το άπειρο _ δεν υπάρχει μεγαλύτερος ακέραιος αριθμός. Αυτό είναι ένα είδος απείρου - το κατώτερο, «μετρήσιμο» επίπεδο όπου λαμβάνει χώρα η αριθμητική. Τώρα σκεφθείτε την ερώτηση «πόσα σημεία υπάρχουν σε μια ευθεία;». Μια ευθεία είναι απόλυτα ίσια και ενιαία, χωρίς τρύπες ή κενά. Περιλαμβάνει άπειρα σημεία. Εδώ όμως δεν πρόκειται για το μετρήσιμο άπειρο των ακέραιων αριθμών, όπου ανεβαίνετε προς τα επάνω σε μια σειρά καθορισμένων, ξεχωριστών βαθμίδων. Εδώ πρόκειται για ένα ενιαίο, συνεχές άπειρο το οποίο περιγράφει γεωμετρικά αντικείμενα. Δεν χαρακτηρίζεται από τους ακέραιους αριθμούς αλλά από τους πραγματικούς: τους ακέραιους συν όλους τους ενδιάμεσους αριθμούς που έχουν όσα δεκαδικά ψηφία θέλετε _ 0,1, 0,01, 0,02, π και ούτω καθ’ εξής. Ο Κάντορ έδειξε ότι αυτό το «συνεχές» άπειρο είναι απείρως μεγαλύτερο από τη μετρήσιμη εκδοχή του των ακέραιων αριθμών. Επιπλέον αποτελεί απλώς μια βαθμίδα σε μια σκάλα που οδηγεί σε όλο και υψηλότερα επίπεδα απείρων τα οποία υψώνονται ως, ναι, το άπειρο. Υπάρχει απειροστικός «ημιόροφος»;
Ενώ η ακριβής δομή αυτών των ανώτερων απείρων παρέμενε νεφελώδης, ένα πιο άμεσο ερώτημα βασάνιζε τον Κάντορ. Υπήρχε ενδιάμεσο επίπεδο ανάμεσα στο μετρήσιμο άπειρο και στο συνεχές; Υποπτευόταν ότι όχι, αλλά δεν μπορούσε να το αποδείξει. Το προαίσθημά του για την ανυπαρξία αυτού του μαθηματικού ημιωρόφου έγινε γνωστό ως «η υπόθεση του συνεχούς». Οι προσπάθειες να αποδειχθεί ή να καταρριφθεί η υπόθεση του συνεχούς βασίζονται στην ανάλυση όλων των δυνατών απείρων υποσυνόλων των πραγματικών αριθμών. Αν το καθένα είναι είτε μετρήσιμο είτε έχει το ίδιο μέγεθος με το πλήρες συνεχές, τότε η υπόθεση ισχύει. Αντιστρόφως, έστω και ένα υποσύνολο ενδιάμεσου μεγέθους μπορεί να την καταρρίψει. Μια τέτοια τεχνική που χρησιμοποιεί υποσύνολα των ακέραιων αριθμών δείχνει ότι δεν υπάρχει επίπεδο απείρου κάτω από το μετρήσιμο. Οσο δελεαστικό και αν είναι να θεωρήσει κανείς ότι οι υπάρχοντες μονοί αριθμοί είναι οι μισοί από το σύνολο των ακεραίων, τα δύο σύνολα μπορούν να αντιστοιχιστούν ακριβώς. Στην πραγματικότητα, κάθε σύνολο ακέραιων αριθμών είναι είτε πεπερασμένο είτε μετρήσιμα άπειρο. Αν εφαρμοστεί στους πραγματικούς αριθμούς ωστόσο αυτή η προσέγγιση αποδίδει ελάχιστα, για λόγους που σύντομα γίνονται προφανείς. Το 1885 ο σουηδός μαθηματικός Γκέστα Μίταγκ-Λέφλερ είχε εμποδίσει τη δημοσίευση μιας από τις εργασίες του Κάντορ υποστηρίζοντας ότι ήταν «100 χρόνια πριν από την εποχή». Οπως έδειξε ο βρετανός μαθηματικός και φιλόσοφος Μπέρτραντ Ράσελ το 1901, ο Κάντορ είχε πράγματι βιαστεί. Αν και τα συμπεράσματά του για το άπειρο ήταν σωστά, η λογική βάση της θεωρίας των συνόλων του έπασχε, βασιζόμενη σε μια άτυπη και τελικά παράδοξη αντίληψη του τι είναι τα σύνολα. Μόνο το 1922 δύο γερμανοί μαθηματικοί, ο Ερνστ Τσερμέλο και ο Αμπραχαμ Φρένκελ, εξήγαγαν μια σειρά κανόνων για τον χειρισμό των συνόλων οι οποίοι φαίνονταν αρκετά σθεναροί ώστε να στηρίξουν τον πύργο των απείρων του Κάντορ και να σταθεροποιήσουν τα θεμέλια των μαθηματικών. Δυστυχώς όμως οι κανόνες αυτοί δεν έδιναν ξεκάθαρη απάντηση στην υπόθεση του συνεχούς. Στην πραγματικότητα, φαινόταν μάλιστα να υποδηλώνουν ότι ίσως να μην υπήρχε καν απάντηση. Το βασικό εμπόδιο ήταν ένας κανόνας γνωστός ως «το αξίωμα της επιλογής». Δεν ανήκε στους αρχικούς κανόνες του Τσερμέλο και του Φρένκελ, αλλά ανέκυψε σύντομα όταν κατέστη σαφές ότι ορισμένες ουσιώδεις μαθηματικές διεργασίες, όπως η ικανότητα σύγκρισης διαφορετικών μεγεθών απείρου, θα ήταν αδύνατες χωρίς αυτόν. Το αξίωμα της επιλογής πρεσβεύει ότι αν έχετε μια σειρά συνόλων μπορείτε πάντα να σχηματίσετε ένα νέο σύνολο επιλέγοντας ένα αντικείμενο από το καθένα από αυτά. Αυτό ακούγεται ανώδυνο, εμπεριέχει όμως ένα «αγκάθι»: προσφέρει τη δυνατότητα να επινοήσετε κάποια παράδοξα αρχικά σύνολα τα οποία παράγουν ακόμη πιο παράδοξα σύνολα όταν επιλέγετε ένα στοιχείο από το καθένα. Οι πολωνοί μαθηματικοί Στέφαν Μπάναχ και Αλφρεντ Τάρσκι έδειξαν πώς το αξίωμα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί για να διαιρέσει το σύνολο των σημείων που καθορίζουν μια σφαιρική μπάλα σε έξι υποσύνολα τα οποία στη συνέχεια μπορούσαν να παραγάγουν δύο μπάλες του ίδιου μεγέθους με την αρχική. Αυτό αποτελούσε σύμπτωμα ενός θεμελιώδους προβλήματος: το αξίωμα επέτρεπε την ύπαρξη δύστροπων συνόλων πραγματικών αριθμών των οποίων οι ιδιότητες δεν μπορούσαν ποτέ να καθοριστούν. Υπό αυτές τις συνθήκες, η προοπτική για την απόδειξη της υπόθεσης του συνεχούς φαινόταν δυσοίωνη.
Όταν ο Ντέιβιντ Χίλμπερτ κατέβηκε από το βάθρο ύστερα από τη διάλεξή του στο Πανεπιστήμιο της Σορβόννης στις 8 Αυγούστου 1900, ελάχιστοι από τους συνέδρους έδειξαν εντυπωσιασμένοι. Σύμφωνα με μια αναφορά της εποχής, η συζήτηση που ακολούθησε σε εκείνο το δεύτερο Διεθνές Συνέδριο των Μαθηματικών ήταν «μάλλον παρεκβατική». Τα πνεύματα φάνηκε να εξάπτονται περισσότερο από ένα επόμενο θέμα σχετικά με το αν η εσπεράντο έπρεπε να υιοθετηθεί ως γλώσσα εργασίας των μαθηματικών. Παρ’ όλα αυτά, εκείνη η ομιλία του Χίλμπερτ χάραξε την ατζέντα των μαθηματικών για τον 20ό αιώνα. Αποκρυσταλλώνεται σε έναν κατάλογο 23 κρίσιμων αναπάντητων ερωτημάτων, όπως το πώς πρέπει να τοποθετούνται οι σφαίρες ώστε να επιτευχθεί η καλύτερη εκμετάλλευση του διαθέσιμου χώρου ή το αν η υπόθεση του Ρίμαν σχετικά με την κατανομή των πρώτων αριθμών ισχύει. Σήμερα πολλά από αυτά τα προβλήματα έχουν λυθεί, όπως αυτό της τοποθέτησης των σφαιρών. Άλλα, όπως αυτό της υπόθεσης του Ρίμαν, έχουν δει ελάχιστη ή και καμία πρόοδο. Το πρώτο θέμα στον κατάλογο του Χίλμπερτ ξεχωρίζει ωστόσο για την αλλόκοτη απάντηση που έδωσαν έκτοτε σε αυτό γενεές ολόκληρες μαθηματικών: ότι τα μαθηματικά απλώς δεν έχουν τα μέσα για να το απαντήσουν.
Η «υπόθεση του συνεχούς» Ο επίμονα άλυτος γρίφος είναι γνωστός ως «υπόθεση του συνεχούς» και αφορά αυτή την τόσο αινιγματική οντότητα, το άπειρο. Σήμερα, 140 χρόνια μετά τη διατύπωσή του, ένας σεβαστός αμερικανός μαθηματικός πιστεύει ότι τον έλυσε. Επιπλέον υποστηρίζει ότι έφθασε στη λύση χρησιμοποιώντας όχι τα μαθηματικά όπως τα γνωρίζουμε αλλά μια νέα, πολύ πιο ισχυρή λογική κατασκευή την οποία ονομάζει «έσχατο L» (ultimate L). Η διαδρομή ως αυτό το σημείο ξεκίνησε στις αρχές της δεκαετίας του 1870, όταν ο Γερμανός Γκέοργκ Κάντορ έθετε τα θεμέλια της θεωρίας των συνόλων. Η θεωρία των συνόλων ασχολείται με τη μέτρηση και τον χειρισμό συγκεντρωμένων αντικειμένων και προσφέρει το κρίσιμο λογικό υπόβαθρο των μαθηματικών: επειδή οι αριθμοί μπορούν να συνδεθούν με το μέγεθος των συνόλων, οι κανόνες για τον χειρισμό των συνόλων καθορίζουν επίσης τη λογική της αριθμητικής και ο,τιδήποτε άλλου στηρίζεται σε αυτήν. Αυτές οι στεγνές, ελαφρώς άνοστες λογικές διατυπώσεις απέκτησαν μια σπιρτάδα όταν ο Κάντορ έθεσε ένα κρίσιμο ερώτημα: Πόσο μεγάλα μπορούν να γίνουν τα σύνολα; Η προφανής απάντηση _ άπειρα μεγάλα _ αποδείχθηκε ότι έκρυβε ένα απρόοπτο: το άπειρο δεν είναι τελικά μια οντότητα αλλά έχει πολλά επίπεδα.
Τα επίπεδα του Απείρου Πώς γίνεται αυτό; Μπορείτε να πάρετε μια γεύση μετρώντας στη σειρά όλους τους αριθμούς: 1, 2, 3, 4, 5... Ως πού μπορείτε να φθάσετε; Ε, φυσικά ως το άπειρο _ δεν υπάρχει μεγαλύτερος ακέραιος αριθμός. Αυτό είναι ένα είδος απείρου - το κατώτερο, «μετρήσιμο» επίπεδο όπου λαμβάνει χώρα η αριθμητική. Τώρα σκεφθείτε την ερώτηση «πόσα σημεία υπάρχουν σε μια ευθεία;». Μια ευθεία είναι απόλυτα ίσια και ενιαία, χωρίς τρύπες ή κενά. Περιλαμβάνει άπειρα σημεία. Εδώ όμως δεν πρόκειται για το μετρήσιμο άπειρο των ακέραιων αριθμών, όπου ανεβαίνετε προς τα επάνω σε μια σειρά καθορισμένων, ξεχωριστών βαθμίδων. Εδώ πρόκειται για ένα ενιαίο, συνεχές άπειρο το οποίο περιγράφει γεωμετρικά αντικείμενα. Δεν χαρακτηρίζεται από τους ακέραιους αριθμούς αλλά από τους πραγματικούς: τους ακέραιους συν όλους τους ενδιάμεσους αριθμούς που έχουν όσα δεκαδικά ψηφία θέλετε _ 0,1, 0,01, 0,02, π και ούτω καθ’ εξής. Ο Κάντορ έδειξε ότι αυτό το «συνεχές» άπειρο είναι απείρως μεγαλύτερο από τη μετρήσιμη εκδοχή του των ακέραιων αριθμών. Επιπλέον αποτελεί απλώς μια βαθμίδα σε μια σκάλα που οδηγεί σε όλο και υψηλότερα επίπεδα απείρων τα οποία υψώνονται ως, ναι, το άπειρο. Υπάρχει απειροστικός «ημιόροφος»;
Ενώ η ακριβής δομή αυτών των ανώτερων απείρων παρέμενε νεφελώδης, ένα πιο άμεσο ερώτημα βασάνιζε τον Κάντορ. Υπήρχε ενδιάμεσο επίπεδο ανάμεσα στο μετρήσιμο άπειρο και στο συνεχές; Υποπτευόταν ότι όχι, αλλά δεν μπορούσε να το αποδείξει. Το προαίσθημά του για την ανυπαρξία αυτού του μαθηματικού ημιωρόφου έγινε γνωστό ως «η υπόθεση του συνεχούς». Οι προσπάθειες να αποδειχθεί ή να καταρριφθεί η υπόθεση του συνεχούς βασίζονται στην ανάλυση όλων των δυνατών απείρων υποσυνόλων των πραγματικών αριθμών. Αν το καθένα είναι είτε μετρήσιμο είτε έχει το ίδιο μέγεθος με το πλήρες συνεχές, τότε η υπόθεση ισχύει. Αντιστρόφως, έστω και ένα υποσύνολο ενδιάμεσου μεγέθους μπορεί να την καταρρίψει. Μια τέτοια τεχνική που χρησιμοποιεί υποσύνολα των ακέραιων αριθμών δείχνει ότι δεν υπάρχει επίπεδο απείρου κάτω από το μετρήσιμο. Οσο δελεαστικό και αν είναι να θεωρήσει κανείς ότι οι υπάρχοντες μονοί αριθμοί είναι οι μισοί από το σύνολο των ακεραίων, τα δύο σύνολα μπορούν να αντιστοιχιστούν ακριβώς. Στην πραγματικότητα, κάθε σύνολο ακέραιων αριθμών είναι είτε πεπερασμένο είτε μετρήσιμα άπειρο. Αν εφαρμοστεί στους πραγματικούς αριθμούς ωστόσο αυτή η προσέγγιση αποδίδει ελάχιστα, για λόγους που σύντομα γίνονται προφανείς. Το 1885 ο σουηδός μαθηματικός Γκέστα Μίταγκ-Λέφλερ είχε εμποδίσει τη δημοσίευση μιας από τις εργασίες του Κάντορ υποστηρίζοντας ότι ήταν «100 χρόνια πριν από την εποχή». Οπως έδειξε ο βρετανός μαθηματικός και φιλόσοφος Μπέρτραντ Ράσελ το 1901, ο Κάντορ είχε πράγματι βιαστεί. Αν και τα συμπεράσματά του για το άπειρο ήταν σωστά, η λογική βάση της θεωρίας των συνόλων του έπασχε, βασιζόμενη σε μια άτυπη και τελικά παράδοξη αντίληψη του τι είναι τα σύνολα. Μόνο το 1922 δύο γερμανοί μαθηματικοί, ο Ερνστ Τσερμέλο και ο Αμπραχαμ Φρένκελ, εξήγαγαν μια σειρά κανόνων για τον χειρισμό των συνόλων οι οποίοι φαίνονταν αρκετά σθεναροί ώστε να στηρίξουν τον πύργο των απείρων του Κάντορ και να σταθεροποιήσουν τα θεμέλια των μαθηματικών. Δυστυχώς όμως οι κανόνες αυτοί δεν έδιναν ξεκάθαρη απάντηση στην υπόθεση του συνεχούς. Στην πραγματικότητα, φαινόταν μάλιστα να υποδηλώνουν ότι ίσως να μην υπήρχε καν απάντηση. Το βασικό εμπόδιο ήταν ένας κανόνας γνωστός ως «το αξίωμα της επιλογής». Δεν ανήκε στους αρχικούς κανόνες του Τσερμέλο και του Φρένκελ, αλλά ανέκυψε σύντομα όταν κατέστη σαφές ότι ορισμένες ουσιώδεις μαθηματικές διεργασίες, όπως η ικανότητα σύγκρισης διαφορετικών μεγεθών απείρου, θα ήταν αδύνατες χωρίς αυτόν. Το αξίωμα της επιλογής πρεσβεύει ότι αν έχετε μια σειρά συνόλων μπορείτε πάντα να σχηματίσετε ένα νέο σύνολο επιλέγοντας ένα αντικείμενο από το καθένα από αυτά. Αυτό ακούγεται ανώδυνο, εμπεριέχει όμως ένα «αγκάθι»: προσφέρει τη δυνατότητα να επινοήσετε κάποια παράδοξα αρχικά σύνολα τα οποία παράγουν ακόμη πιο παράδοξα σύνολα όταν επιλέγετε ένα στοιχείο από το καθένα. Οι πολωνοί μαθηματικοί Στέφαν Μπάναχ και Αλφρεντ Τάρσκι έδειξαν πώς το αξίωμα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί για να διαιρέσει το σύνολο των σημείων που καθορίζουν μια σφαιρική μπάλα σε έξι υποσύνολα τα οποία στη συνέχεια μπορούσαν να παραγάγουν δύο μπάλες του ίδιου μεγέθους με την αρχική. Αυτό αποτελούσε σύμπτωμα ενός θεμελιώδους προβλήματος: το αξίωμα επέτρεπε την ύπαρξη δύστροπων συνόλων πραγματικών αριθμών των οποίων οι ιδιότητες δεν μπορούσαν ποτέ να καθοριστούν. Υπό αυτές τις συνθήκες, η προοπτική για την απόδειξη της υπόθεσης του συνεχούς φαινόταν δυσοίωνη.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου