Benoît B. Mandelbrot - Φράκταλς

Γαλλοαμερικανός μαθηματικός γεννημένος στην Πολωνία (20 Νοεμ 1924 - 14 Οκτ 2010). Ο Μάντελμπροτ εργάστηκε σε ευρύ φάσμα πεδίων των μαθηματικών, ανάμεσα στα οποία συναντούμε τα Μαθηματικά φυσικών επιστημών και την ποσοτική χρηματοοικονομική. Ωστόσο έγινε περισσότερο γνωστός από την ενασχόληση του με την «τέχνη της τραχύτητας», όπως ο ίδιος την αποκάλεσε, των φυσικών φαινομένων και των «ακανόνιστων στοιχείων» στην ζωή. Θεωρείται ο «πατέρας» της μορφοκλασματικής γεωμετρίας, της γεωμετρίας των φράκταλ, όπως αλλιώς ονομάζεται. Ο ίδιος καθιέρωσε τον όρο «φράκταλ» για να περιγράψει μια κατηγορία μαθηματικών αντικειμένων με ακανόνιστα περιγράμματα, τα οποία μιμούνται τα ακανόνιστα σχήματα που απαντώνται στη φύση (αυτο-ομοιότητα).

Το 1936, ενώ ήταν παιδί, η οικογένεια του Μάντελμπροτ μετανάστευσε στη Γαλλία. Μετά το τέλος του Δεύτερου Παγκοσμίου Πολέμου, ο Μάντελμπροτ σπούδασε μαθηματικά και φοίτησε σε πανεπιστήμια στο Παρίσι και τις Ηνωμένες Πολιτείες και απέκτησε μεταπτυχιακό δίπλωμα στον τομέα της αεροναυπηγικής από το Ινστιτούτο Τεχνολογίας της Καλιφόρνια. Πέρασε μεγάλο μέρος της ζωής του διαμένοντας και δουλεύοντας στις Ηνωμένες Πολιτείες και στην Γαλλία, αποκτώντας διπλή γαλλική και αμερικανική υπηκοότητα. Το 1958, άρχισε μια καριέρα 35 ετών στην IBM, όπου έγινε Ομότιμος Εταίρος της και περιοδικά δίδασκε στο Πανεπιστήμιο του Χάρβαρντ. Μετά τη δημοσίευση της μελέτης του για την αγορά του πρωτογενούς τομέα στην Αμερική σε σύγκριση με τις προθεσμιακές επενδύσεις στον τομέα του βαμβακιού, δίδαξε Οικονομικά και εφαρμοσμένες επιστήμες στο Χάρβαρντ.

Λόγω της πρόσβασης του σε υπολογιστές της IBM,ο Μάντελμπροτ ήταν ένας από τους πρώτους που χρησιμοποίησαν γραφικά υπολογιστών για να δημιουργήσει και να εμφανίσει γεωμετρικά αντικείμενα μορφοκλασματικής μορφής, τα φράκταλ και έτσι έφτασε το 1979 να ανακαλύψει το λεγόμενο «Σύνολο Μάντελμπροτ». Έδειξε πώς η οπτική πολυπλοκότητα μπορεί να δημιουργηθεί από απλούς κανόνες. Είπε ότι τα πράγματα που συνήθως θεωρούνται ότι είναι "τραχιά" ή "χαοτικά", όπως τα σύννεφα ή οι ακτές, στην πραγματικότητα έχουν «βαθμούς τάξης». Η επικεντρωμένη στα μαθηματικά και την γεωμετρία έρευνα του προσέφερε σε τομείς όπως η στατιστική φυσική, μετεωρολογία, υδρολογία, γεωμορφολογία, ανατομία, νευρολογία, γλωσσολογία, τεχνολογία πληροφοριών, γραφικά υπολογιστών, οικονομία, γεωλογία, ιατρική, κοσμολογία, μηχανική, θεωρία του χάους, μεταλλουργία και στις κοινωνικές επιστήμες.

Προς το τέλος της καριέρας του, έφτασε στην υψηλότερη ακαδημαϊκή βαθμίδα του Πανεπιστημίου του Γέιλ (Sterling Professor of Mathematical Sciences) και έγινε ο γηραιότερος καθηγητής με έδρα στην ιστορία του Γέιλ. Επίσης ο Μάντελμπροτ κατείχε θέσεις στα παρακάτω ιδρύματα: Pacific Northwest National Laboratory, Université Lille Nord de France, Institute for Advanced Study και στο Centre National de la Recherche Scientifique. Κατά την διάρκεια της καριέρας του έλαβε πάνω από 15 τιμητικά διδακτορικά ως αναγνώριση της συμβολής του στην επιστήμη, πολλά βραβεία και επίσης συμμετείχε στην συγγραφή πολλών επιστημονικών περιοδικών. Η αυτοβιογραφία του, The Fractalist: Memoir of a Scientific Maverick, δημοσιεύτηκε το 2012.

Ο μόνιμος φόβος μας ήταν ότι ένας αρκετά αποφασισμένος εχθρός μας μπορεί να μας αναφέρει στις αρχές και αυτό να μας οδηγήσει στον θάνατο. Αυτό συνέβη σε έναν στενό μας φίλο από το Παρίσι, τον Zina Morhange, ο οποίος ήταν ένας γιατρός από κοντινή επαρχεία. Ένας άλλος ιατρός τον κατήγγειλε απλά για να εξαλείψει τον ανταγωνισμό. Εμείς ξεφύγαμε από αυτή τη μοίρα. Ποιος ξέρει γιατί; 

Το 1944, ο Μάντελμπροτ επέστρεψε στο Παρίσι, σπούδασε στο Lycée du Parc στη Λυών, και το 1945 - 1947 φοίτησε στην Πολυτεχνική Σχολή του Παρισιού (École Polytechnique), όπου σπούδασε με καθηγητές τους Γκαστόν Τζούλια (Gaston Julia) και Πωλ Λεβί (Paul Lévy). Την περίοδο 1947 - 1949 σπούδασε στο Ινστιτούτο Τεχνολογίας της Καλιφόρνια, όπου απέκτησε μεταπτυχιακό τίτλο στον τομέα της αεροναυπηγικής. Επιστρέφοντας στη Γαλλία, το 1952, απέκτησε το διδακτορικό του στις Μαθηματικές Επιστήμες στο Πανεπιστήμιο του Παρισιού.

Από το 1951 και μετά, ο Μάντελμπροτ ασχολήθηκε όχι μόνο τον τομέα των μαθηματικών αλλά και με άλλους τομείς εφαρμοσμένων επιστημών όπως τα οικονομικά, η θεωρία της πληροφορίας και η ρευστομηχανική.

Καταστάσεις τυχαιότητας και χρηματοπιστωτικές αγορές

Ο Μάντελμπροτ διαπίστωσε ότι οι μεταβολές των τιμών στις χρηματοπιστωτικές αγορές δεν ακολουθούν μια κανονική κατανομή (γνωστή και ως Γκαουσιανή κατανομή), αλλά μάλλον τις σταθερές κατανομές του Λεβί έχοντας θεωρητικά άπειρη διακύμανση. Βρήκε, για παράδειγμα, ότι οι τιμές του βαμβακιού ακολουθούσαν σταθερή κατανομή Λεβί με την παράμετρο α ίση με 1,7 και όχι 2, όπως σε μία κατανομή Γκάους. Οι "σταθερές" κατανομές έχουν την ιδιότητα ότι το άθροισμα πολλών περιπτώσεων μιας τυχαίας μεταβλητής ακολουθεί την ίδια κατανομή, αλλά με μια παράμετρο μεγαλύτερης κλίμακας.

Tο 1975, o Μάντελμπροτ επινόησε τον όρο φράκταλ για να περιγράψει αυτές τις δομές και αρχικά δημοσίευσε για πρώτη φορά τις ιδέες του, και αργότερα μετέφρασε, το Fractals: Form, Chance and Dimension. Σύμφωνα με τον επιστήμονα Στίβεν Γούλφραμ, το βιβλίο ήταν μια "επανάσταση" για τον Μάντελμπροτ, όπου μέχρι τότε «εφάρμοζε σχετικά απλά μαθηματικά σε τομείς στους οποίους "σοβαρά" μαθηματικά δεν είχαν εφαρμοστεί στο παρελθόν». Ο Γούλφραμ προσθέτει ότι ως αποτέλεσμα αυτής της νέας του έρευνας, δεν ήταν πλέον ένας «περιπλανόμενος επιστήμονας», και αργότερα τον αποκάλεσε «ο πατέρας των fractals» :

Ο Μάντελμπροτ κατέληξε να εντοπίσει μια πολύ ισχυρότερη και θεμελιώδη ιδέα - με απλά λόγια, κατέληξε στο ότι υπάρχουν ορισμένα γεωμετρικά σχήματα, τα οποία ονόμασε "φράκταλ", που είναι εξίσου "τραχεία" σε όλες τις κλίμακες. Όσο κοντά και αν τα κοιτάξεις, ποτέ δεν γίνονται απλούστερα, όπως και το τμήμα μιας βραχώδους ακτογραμμής το βλέπουμε στα πόδια μας ακριβώς τόσο οδοντωτό όσο και από το διάστημα.

O Γούλφραμ περιγράφει εν συντομία τα φράκταλς ως μια μορφή γεωμετρικής επανάληψης, «στην οποία όλο και μικρότερα αντίγραφα ενός μοτίβου εμφωλεύονται διαδοχικά το ένα μέσα στο άλλο, έτσι ώστε να εμφανίζονται τα ίδια περίπλοκα σχήματα όσο και αν μεγεθύνονται. Τα φύλλα της φτέρης φύλλα και το μπρόκολο είναι δύο παραδείγματα από τη φύση». Επισημαίνει επίσης ένα απροσδόκητο συμπέρασμα:

Κάποιος θα φανταζόταν ότι μια τέτοια απλή και θεμελιώδης μορφή κανονικότητας θα είχε μελετηθεί για τις εκατοντάδες, αν όχι χιλιάδες χρόνια. Αλλά αυτό δεν ήταν αλήθεια. Στην πραγματικότητα, ήρθε στο προσκήνιο μόνο τα τελευταία 30 περίπου χρόνια, σχεδόν εξ ολοκλήρου μέσα από τις προσπάθειες ενός ανθρώπου, του μαθηματικού Μπενουά Μάντελμπροτ. 

O Μάντελμπροτ χρησιμοποίησε τον όρο «φράκταλ», ο οποίος προέρχεται από τη λατινική λέξη "fractus", που ορίζεται ως σπασμένο ή κερματισμένο γυαλί. Έχοντας στην διάθεση του τους προσφάτως ανεπτυγμένους υπολογιστές της IBM, ο Μάντελμπροτ ήταν σε θέση να δημιουργήσει εικόνες φράκταλ χρησιμοποιώντας γραφικά δημιουργούμενα με κώδικα υπολογιστή. Τις εικόνες αυτές ένας ερευνητής τις παρομοιάζει με «τον ξέφρενο ενθουσιασμό της ψυχεδελικής τέχνης της δεκαετίας του 1960 με μορφές που θυμίζουν την φύση και το ανθρώπινο σώμα.» Επίσης, είδε τον εαυτό του ως «επίδοξο Κέπλερ», μετά τον επιστήμονα του 17ου αιώνα Γιοχάνες Κέπλερ, ο οποίος υπολόγισε και περιέγραψε τις τροχιές των πλανητών.

O Μάντελμπροτ, όμως, ποτέ δεν αισθάνθηκε ότι είχε εφεύρει μια νέα ιδέα. Ο ίδιος περιγράφει τα συναισθήματά του σε ένα ντοκιμαντέρ με τον συγγραφέα Άρθουρ Κλαρκ:

Η εξερεύνηση αυτού του συνόλου σίγουρα δεν είχε ποτέ την αίσθηση της εφεύρεσης. Ποτέ δεν είχα την αίσθηση ότι η φαντασία μου ήταν αρκετά πλούσια για να εφεύρει όλα αυτά τα εκπληκτικά πράγματα όταν ανακαλύφθηκαν. Ήταν εκεί, ακόμα κι αν κανείς δεν τα είχε δει πριν. Είναι υπέροχο, μια πολύ απλή φόρμουλα εξηγεί όλα αυτά τα πολύ περίπλοκα πράγματα. Έτσι, ο στόχος της επιστήμης είναι αρχίζοντας από ένα χάος, να το εξηγεί με έναν απλό μαθηματικό τύπο, ένα είδος όνειρο για την επιστήμη. 

Σύμφωνα με τον Κλάρκ, "το Σύνολο Μάντελμπροτ είναι πράγματι μία από τις πιο εκπληκτικές ανακαλύψεις σε ολόκληρη την ιστορία των μαθηματικών. Ποιος θα μπορούσε να ονειρευτεί ότι μια τέτοια απίστευτα απλή εξίσωση θα μπορούσε να δημιουργεί εικόνες κυριολεκτικά άπειρης πολυπλοκότητας;". Ο Κλάρκ σημειώνει επίσης μια «περίεργη σύμπτωση»: "για το όνομα του Mandelbrot, και την λέξη «μάνταλα» - θρησκευτικό σύμβολο, το οποίο είμαι βέβαιος ότι είναι μια καθαρή σύμπτωση, αλλά πράγματι το σύνολο Μάντελμπροτ φαίνεται να περιέχει έναν τεράστιο αριθμό μάνταλα."^[21]

Ο Μάντελμπροτ αποχώρησε από την IBM το 1987, μετά από 35 χρόνια και 12 ημέρες, όταν η IBM αποφάσισε να τερματίσει την έρευνα στο τμήμα του. Εντάχθηκε στο Τμήμα Μαθηματικών στο Γέιλ και έλαβε την πρώτη έδρα το 1999, στην ηλικία των 75. Όταν αποσύρθηκε, το 2005, τελείωσε την καριέρα του ως καθηγητής με έδρα Στέρλινγκ.

Φράκταλς και η "Θεωρία της Τραχύτητας"

Ο Μάντελμπροτ δημιούργησε την πρώτη "θεωρία της τραχύτητας", και είδε "τραχύτητα" στα σχήματα των βουνών, των ακτών και των λεκανών απορροής ποταμών, των δομών των φυτών, των αιμοφόρων αγγείων, των πνευμόνων και στην ομαδοποίηση των γαλαξιών. Η προσωπική του αναζήτηση ήταν να δημιουργήσει έναν μαθηματικό τύπο για τη μέτρηση της συνολικής «τραχύτητα» των εν λόγω αντικειμένων στην φύση. Άρχισε ρωτώντας τον εαυτό διάφορα είδη ερωτήσεων που σχετίζονται με τη φύση:

Μπορεί η γεωμετρία να προσφέρει αυτό που η ελληνική ρίζα της λέξης υπόσχεται, δηλαδή αξιόπιστη μέτρηση όχι μόνον των καλλιεργημένων χωραφιών κατά μήκος του ποταμού Νείλου, αλλά και της αδάμαστης γης; 

Στην διατριβή του με τίτλο "Πόσο είναι το μήκος των ακτών τις Βρετανίας; Στατιστική αυτοομοιότητα και μορφοκλασματική διάσταση", η οποία δημοσιεύτηκε στο περιοδικό Science το 1967 ο Μάντελμπροτ εξετάζει αυτοόμοιες καμπύλες με διάσταση Χάουσντορφ μεταξύ 1 και 2. Αυτές οι καμπύλες είναι παραδείγματα φράκταλ, αν και ο Μάντελμπροτ δεν χρησιμοποιεί τον όρο στη διατριβή, καθώς τον εισηγήθηκε το 1975. Η διατριβή αυτή αποτελεί την πρώτη του Μάντελμπροτ πάνω στο θέμα των φράκταλ. Ο Μάντελμπροτ τόνισε ότι η χρήση των φράκταλς προσφέρει ρεαλιστικά και χρήσιμα μοντέλα για την περιγραφή πολλών "τραχειών" φαινομένων στον πραγματικό κόσμο. Κατέληξε στο συμπέρασμα ότι "η πραγματική τραχύτητα είναι συχνά φράκταλ και μπορεί να μετρηθεί."   Αν και ο Μάντελμπροτ επινόησε τον όρο «φράκταλ», μερικά από τα μαθηματικά αντικείμενα που παρουσιάζονται στο βιβλίο του Η μορφοκλασματική Γεωμετρία της Φύσης είχαν περιγραφεί προηγουμένως από άλλoυς μαθηματικούς. Πριν τον Μάντελμπροτ, ωστόσο, είχαν θεωρηθεί ως απομονωμένα παράδοξα με μη φυσικές ιδιότητες. Ο Μάντελμπροτ έφερε αυτά τα αντικείμενα μαζί για πρώτη φορά και τα μετέτρεψε σε βασικά εργαλεία στην μακροπρόθεσμη προσπάθεια της επιστήμης να επεκταθεί και να εξηγήσει μη ομαλά, "τραχιά" αντικείμενα στον πραγματικό κόσμο. Η μέθοδος της έρευνάς του ήταν τόσο παλιά όσο και νέα:

Το είδος γεωμετρίας, που σταδιακά προτίμησα είναι το παλαιότερο, το πιο συγκεκριμένο και το πιο περιεκτικό, εμπλουτισμένο με οπτικά και γραφικά είτε χειρόγραφα είτε με την βοήθεια του υπολογιστή... φέρνοντας ένα στοιχείο ενότητας στους κόσμους της γνώσης και του συναισθήματος... και, άθελά του, ως μπόνους, δημιουργεί ομορφιά.

Τμήμα ενός Συνόλου Μάντελμπροτ

Τα φράκταλς συναντώνται επίσης σε ανθρώπινες δραστηριότητες, όπως η μουσική, η ζωγραφική, η αρχιτεκτονική, και στο χρηματιστήριο. Ο Μάντελμπροτ πίστευε ότι τα φράκταλς, απείχαν πολύ από το να είναι αφύσικα και ήταν από πολλές απόψεις πιο διαισθητικά και φυσικά από τα τεχνητά λεία αντικείμενα της παραδοσιακής Ευκλείδειας γεωμετρίας:

Τα σύννεφα δεν είναι σφαίρες, τα βουνά δεν είναι κώνοι, οι ακτογραμμές δεν είναι κύκλοι και το γάβγισμα δεν είναι ομαλό ούτε η αστραπή ταξιδεύει σε ευθεία γραμμή. Γράφει ο Μάντελμπροτ στην εισαγωγή του πιο γνωστού του βιβλίου Η μορφοκλασματική Γεωμετρία της Φύσης (The Fractal Geometry of Nature).

Ο Μάντελμπροτ έχει αποκαλεστεί οραματιστής και αιρετικός. Το ανεπίσημο και παθιασμένο στυλ γραφής του και η έμφαση που έδινε στην οπτική και γεωμετρική διαίσθηση (την οποία εμπλούτιζε με την εισαγωγή πολυάριθμων εικόνων) έκανε το βιβλίο του Η μορφοκλασματική Γεωμετρία της Φύσης προσβάσιμο και κατανοητό και σε μη-ειδικούς. Το βιβλίο προκάλεσε ευρέως το λαϊκό ενδιαφέρον για τα φράκταλς και συνέβαλε στη εξέλιξη της Θεωρίας του Χάους και σε άλλους τομείς της επιστήμης και των μαθηματικών.

Ο Μάντελμπροτ επίσης εφάρμοσε τις ιδέες του στην Κοσμολογία. Το 1974 έδωσε μια νέα εξήγηση στο παράδοξο του Όλμπερς (το αίνιγμα του "σκοτεινού ουρανού την νύχτα"), καταδεικνύοντας τις συνέπειες της Θεωρίας των Φράκταλς ως ικανές αλλά όχι αναγκαίες για την επίλυση του παραδόξου. Διατύπωσε την άποψη ότι εάν τα άστρα έχουν κατανομή φράκταλ στο Σύμπαν (για παράδειγμα όπως η Σκόνη του Καντόρ), δεν θα είναι απαραίτητο να βασιζόμαστε στη θεωρία της Μεγάλης Έκρηξης για να εξηγήσουμε το παράδοξο. Το μοντέλο του δεν θα απέκλειε μια Μεγάλη Έκρηξη, αλλά θα εξηγούσε τον σκοτεινό ουρανό, ακόμη και αν αυτή δεν είχε συμβεί.