Σύνολο Mandelbrot & Fractal

Σχεδόν ο καθένας μας έχει θαυμάσει κάποιες εικόνες fractals από αυτές που κυκλοφορούν κατά χιλιάδες σε ημερολόγια, περιοδικά, ψυχεδελικά σχέδια κλπ. Η χρήση τους επεκτάθηκε από τη στιγμή που μπήκαν εδώ και είκοσι χρόνια τα computers αφού είναι σύνθετα σχέδια που δημιουργούνται με τη βοήθεια πολύπλοκων υπολογισμών. Αλλά ενώ οι εικόνες είναι πολύπλοκες, το πρόγραμμα (software) που απαιτείται δεν είναι, αφού η σχεδίαση των εικόνων βασίζεται στην επανάληψη ενός μοτίβου, που σχεδιάζεται με τη βοήθεια μιας συνάρτησης.
Πολλοί άνθρωποι τα βλέπουν δίχως να γνωρίζουν τι είναι αυτές οι φανταστικές έγχρωμες εικόνες και πως δημιουργούνται. Μερικοί έχουν ακούσει πως υπάρχει κάποια σύνδεση τους με ορισμένα φυσικά αντικείμενα δίχως να πολυκαταλαβαίνουν ποιά σύνδεση εννοείται.

Οι περισσότεροι από μας όταν ακούνε σχέδια ή σχήματα έχουν στο μυαλό τους κάποια ευκλείδια γεωμετρικά σχήματα. Αλλά τα fractals διαφέρουν από αυτά σε δύο παράγοντες:
1. Οι εικόνες αυτές είναι όμοιες προς ευατόν. Ετσι αν κοιτάξουμε ένα μικρό τμήμα ενός fractal θα δούμε πως είναι όμοιο με ένα μεγαλύτερο τμήμα. Αν μεγενθύνουμε το μικρό, θα δούμε πως αυτό περιέχει και πάλι όμοια μέρη κ.ο.κ.
2. Οι fractal εικόνες είναι ανεξάρτητες από κλίμακα. Αντίθετα με τα ευκλείδια σχήματα, δεν έχουν ένα χαρακτηριστικό μέγεθος μέτρησης.

Τα Fractal είναι μία τάξη πολύπλοκων γεωμετρικών μορφών που έχουντην ιδιότητα της αυτοομοιότητας. Τα Fractal διαφέρουν από τα απλά σχήματα της κλασικής ή ευκλείδειας γεωμετρίας - το τετράγωνο, τον κύκλο, την σφαίρα κ.λπ.
Μπορεί να περιγράψουν πολλά αντικείμενα με ακανόνιστη μορφή ή χωρικά ανομοιόμοια φαινόμενα στην φύση, τα οποία δεν είναι δυνατόν να περιγραφούν με την ευκλείδεια γεωμετρία.
Ο όρος fractal πλάσθηκε από τον πολωνικής καταγωγής μαθηματικό Benoit Β. Mandelbrot από την λατινική λέξη fractus (θρυμματισμένος ή σπασμένος), για να εκφράσει την ιδέα ενός σχήματος τού οποίου οι διαστάσεις δεν περιγράφονται με ακέραιο αριθμό. Στα Ελληνικά αποδόθηκε με τον όρο Μορφοκλασματική Καμπύλη από τον αδικοχαμένο Στ.Πνευματικό και τον καθηγητή Ι.Νίκολη.

"Η προς εαυτόν ομοιότητα" και η "χαμηλή περιεκτικότητα πληροφοριών" είναι δύο βασικά χαρακτηριστικά των fractals.

Μολονότι όλα τα Fractals δεν έχουν την ιδιότητα της αυτοομοιότητας ή δεν την έχουν ακριβώς, τα περισσότερα την επιδεικνύουν.
Αυτοόμοιο είναι ένα αντικείμενο του οποίου τα μέρη από τα οποία αποτελείται μοιάζουν με το σύνολο. Αυτή η επανάληψη τών ακανόνιστων λεπτομερειών ή σχηματισμών συμβαίνει προοδευτικά σε μικρότερες κλίμακες και, στην περίπτωση καθαρά αφηρημένων οντοτήτων, είναι δυνατόν να συνεχίσουν απεριόριστα έτσι ώστε κάθε τμήμα ενός τμήματος, όταν μεγεθυνθεί, να μοιάζει βασικά με το συνολικό αντικείμενο.

Ουσιαστικά ένα αυτοόμοιο αντικείμενο παραμένει αναλλοίωτο σε αλλαγές κλίμακας, έχει δηλαδή συμμετρία κλίμακας. Αυτό το φαινόμενο μπορεί εύκολα να παρατηρηθεί, στις νιφάδες τού χιονιού ή στον φλοιό τών δένδρων.

Η νιφάδα του Koch έχει διάσταση fractal μη ακλέραιη. Η τελική εικόνα που προκύπτει έχει άπειρο μήκος αλλά περικλείει ένα πεπερασμένο εμβαδόν μικρότερο από αυτό του περιγεγραμμένου κύκλου στο αρχικό τρίγωνο.

Το ανωτέρω σχήμα δείχνει ένα ισόπλευρο τρίγωνο με μήκος πλευράς 3l. Στο κεντρικό τμήμα κάθε πλευράς τοποθετείται ένα όμοιο τρίγωνο με μήκος πλευράς l και η διαδικασία επαναλαμβάνεται απεριόριστα, δίνοντας ως αποτέλεσμα την λεγόμενη νιφάδα τού Κωχ.
'Ενα άλλο βασικό χαρακτηριστικό ενός φράκταλ είναι η μαθηματική παράμετρος που ονομάζεται διάσταση fractal D.
Αυτό είναι ένα χαρακτηριστικό που παραμένει το ίδιο άσχετα με το πόσο πολύ θα μεγεθυνθεί το αντικείμενο ή υπό ποία γωνία θα παρατηρηθεί. Η διάσταση fractal εκφράζεται με εναν μη ακέραιο αριθμό, δηλαδή από ένα "κλάσμα", αντίθετα προς την ευκλείδεια γεωμετρία.

Στο παραπάνω παράδειγμα, η περίμετρος κάθε σχήματος αυξάνει σε σχέση με αυτή τού αμέσως προηγουμένου σχήματος κατά τον λόγο 4 προς 3. Η διάσταση fractal D είναι η δύναμη στην οποία πρέπει να υψωθεί το 3 για να δώσει 4, δηλαδή 3D = 4. Η διάσταση που χαρακτηρίζει την περίμετρο τού fractal του ανωτέρω σχήματος είναι log4/log3 ή πρoσεγγιστικά 1 ,26.
Το μήκος της περιμέτρου τού fractal είναι 3l*(4/3)*(4/3).... δηλαδή άπειρο, αλλά περικλείει ένα πεπερασμένο εμβαδόν που είναι μικρότερο από το εμβαδόν τού περιγεγραμμένου κύκλου στο αρχικό τρίγωνο. Η διάσταση fractal D αποκαλύπτει ακριβώς τις λεπτές διαφορές και την πολυπλοκότητα ενός μη ευκλείδειου σχήματος.

Εφαρμογές fractals
Η γεωμετρία fractal με τις έννοιες τής αυτοομοιότητας και τής μη ακέραιης διάστασης έχει εφαρμοστεί με αυξανόμενη συχνότητα στην στατιστική μηχανική, σε φυσικά συστήματα που δείχνουν φαινομενικά τυχαία χαρακτηριστικά.

Για παράδειγμα έχουν γίνει προσομοιώσεις fractal για να σχεδιαστεί η κατανομή σμηνών γαλαξιών στο Σύμπαν και για να μελετηθοίιν προβλήματα που σχετίζονται με την διαταραχή ενός ρευστού. Η γεωμετρία fractal επίσης συνέβαλε πολύ στα γραφικά με ηλεκτρονικό υπολογιστή, όπου με αλγορίθμους fractal έχουν σχεδιαστεί σχήματα πολύπλοκων, εξαιρετικά ακανόνιστων φυσικών αντικειμένων, όπως είναι μορφολογικά ανώμαλα όρη και περίπλοκα συστήματα κλάδων δέντρων.

Η γεωμετρία του Χάους είναι η γεωμετρία των fractals
Αλλά γιατί τα fractals συνδέθηκαν τόσο πολύ με τα χαοτικά συστήματα; Ξέρουμε από την ευκλείδια γεωμετρία ότι οι γραμμές έχουν μία διάσταση, οι επιφάνειες δύο και οι όγκοι τρείς διαστάσεις. Αντιθέτως τα fractals δεν έχουν ακέραιες διαστάσεις, αλλά μπορεί να είναι μη ακέραια πχ ανάμεσα στο 2 και στο 3 αν είναι καμπύλη.

Οσο πιό μεγάλη είναι η διάσταση τους τόσο πιό τραχιά είναι η εμφάνιση του. Μια τυπική βραχώδης ακρογιαλιά, αν τη δούμε σαν fractal γραμμή τότε έχει διάσταση 1.215. Ολα δε τα αντικείμενα που ένα μικρό τμήμα τους μοιάζει με ένα μεγαλύτερο θεωρείται fractal.

'Eνα τυπικό παράδειγμα fractal είναι το σύνολο τού Mandelbrot.
Σύνολα Mandelbrot και Julia (Ζυλιά)
Τα σύνολα Julia (Από το όνομα του Γάλλου μαθηματικού Gaston Julia που τ' ανακάλυψε) δημιουργήθηκαν εισάγοντας ένα μιγαδικό αριθμό σε μια επαναληπτική συνάρτηση. Οι εικόνες που φαίνονται αναπαριστούν πως η επαναληπτική συνάρτηση συμπεριφέρεται.

Το σύνολο Mandelbrot είναι ένας κατάλογος όλων των δυνατών συνόλων Julia. To σύνολο Mandelbrot είναι τα πιό φημισμένα fractal επειδή είναι εξαιρετικά σύνθετο και ήταν το πρώτο που ανακαλύφθηκε από τον ιδρυτή της fractal γεωμετρίας: τον Benoit Mandelbrot.

Το σύνολο Manelbrot είναι από τα πιό σύνθετα σχήματα της Γεωμετρίας. Ο τύπος για να τα σχεδιάσουμε στον υπολογιστή είναι Ζn+1=Z2n+K. Η συνταγή λοιπόν είναι η εξής: Παίρνουμε ένα αριθμό, τον πολλαπλασιάζουμε στον εαυτό του και τον προσθέτουμε στον σταθερό Κ. Εξετάζουμε αν η σειρά από τα σημεία που προκύπτουν βγαίνει έξω από ένα κύκλο με ακτίνα ίση με δύο. Αν δεν βγαίνει, τότε το πρώτο σημείο, εκεί όπου ξεκίνησε, ανήκει στο σύνολο Mandelbrot και θα παριστάνεται σαν μια μαύρη κουκίδα. Ετσι βρίσκοντας πολλά σημεία αρχίζει να ξεκαθαρίζει το σχήμα που φτιάξαμε. Και έχει την παράξενη ιδιότητα ένα τμήμα του να μοιάζει με ολόκληρο το fractal. Φτάνει να παραστήσουμε κάποιο κομμάτι και θα καταλάβουμε πως είναι το ολόκληρο. Αλλά ποιό είναι το ολόκληρο; Αυτό που χωράει σε ένα χαρτί, σε ένα τεράστιο χαρτόν ή που χωράει σε όλη την Αθήνα;

Παράδειγμα

Το σύνολο του Mandelbrot είναι ένα συνδεδεμένο σύνολο από σημεία στο μιγαδικό επίπεδο. Αν θεωρήσουμε κάποιο σημείο Z0 στο μιγαδικό επίπεδο. Τότε το σημείο Z1 δημιουργείαι από το Z0 ως εξής:

Z1 = Z02 + Z0
Z2 = Z12 + Z0
Z3 = Z22 + Z0
. . .

Αν η ακολουθία Z0, Z1, Z2, Z3, ... παραμένει εντός του κύκλου με ακτίνα 2 πάντα, τότε το σημείο Z0 λέγεται πως ανήκει στο σύνολο Mandelbrot. Εαν η ακολουθία αποκλίνει από το αρχικό σημείο, τότε το σημείο δεν ανήκει στο σύνολο.

Δημιουργία Fractal

Εστω ότι θέλουμε να φτιάξουμε κάποιο fractal, ας θεωρήσουμε τη συνάρτηση Y=X2. Για να φτιάξουμε το σύνολο αυτό, κάθε φορά στη θέση του X βάζουμε το Y που βρήκαμε.
Ας ξεκινήσουμε λοιπόν με αρχική τιμή για το X=1.01 τότε θα έχουμε
1.012=1.0201. Παίρνουμε τη νέα τιμή του Y=1.0201 και την βάζουμε στο X, οπότε θα έχουμε
1.02012=1.0201. Και για τις επόμενες 10 αντικαταστάσεις θα έχουμε:
1.08285670562808
1.1725786449237
1.374906785311
1.89046186
3.57384607
12.7723758
163.1335836
26612.5661173
708228675.3479
5.015878*1017
2.5159*1035 κ.ο.κ.

Τι θα γίνει όμως αν αντί για 1.01 βάλουμε 0.99 στη θέση του X; Θα πάρουμε τους εξής αριθμούς:
0.992=0.9801
0.98012=0.96059601 και για τις επόμενες 10 αντικαταστάσεις θα έχουμε:
0.922744
0.8514577710
0.724980
0.52559648
0.2762516676
7.631498390659*10-2
5.8239767*10-3
3.39187054019*10-5
1.150478*10-9
1.3236009*10-18
1.751919*10-36
3.06922188*10-72
9.420122*10-144

Είναι λοιπόν ξεκάθαρο προς τα που οδηγεί η μικρή αλλαγή του Χ από 1.01 σε 0.99, στο Χάος, στο απρόβλεπτο.